احتمال شرطی

احتمال شرطی




احتمال وقوع پدیدهٔ A در حالی که می‌دانیم پدیدهٔ B اتفاق افتاده است، یک احتمال شرطی است. احتمال وقوع A به شرط [وقوع] B بدین شکل قابل محاسبه است[۱]:

P ( A | B ) = P ( A B ) P ( B ) {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(AB)}{P(B)}}} {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(AB)}{P(B)}}}

که در آن P ( B ) > 0 {\displaystyle P(B)>0} {\displaystyle P(B)>0} است.

توضیح اینکه می‌دانیم احتمال وقوع هر پدیدهٔ تصادفی (پیشامد) برابر است با نسبت تعداد اعضای آن پدیده(پیشامد) به تعداد اعضای فضای نمونه . در احتمال شرطی، احتمال وقوع پیشامد، P ( A ∩ B ) = P ( A B ) {\displaystyle P(A\cap B)=P(AB)} {\displaystyle P(A\cap B)=P(AB)} است که بیانگر احتمال وقوع همزمان پیشامدهای A و B می‌باشد، و با توجه به اینکه می‌دانیم B حتماً اتفاق افتاده، فضای نمونه به B کاهش می‌یابد و نسبت مذکور به صورت فوق محاسبه خواهد شد.

محتویات

    ۱ پیشامد شرطی
    ۲ اصل ضرب
        ۲.۱ مثال اول
        ۲.۲ مثال دوم
        ۲.۳ مثال سوم
    ۳ قانون احتمال کل
    ۴ استقلال
        ۴.۱ مثال
    ۵ منابع

پیشامد شرطی

فرض کنید دو پیشامد A {\displaystyle A} A و B {\displaystyle B} B در فضای نمونه ای یکسان داده شده اند، در حالی که P ( B ) > 0 {\displaystyle P(B)>0} {\displaystyle P(B)>0} است. احتمال شرطی A {\displaystyle A} A در حالی که B {\displaystyle B} B داده شده باشد، خارج قسمت تقسیم احتمال غیر شرطی توزیع احتمال توام A {\displaystyle A} A و B {\displaystyle B} B، و احتمال غیر شرطی B {\displaystyle B} B است.

    P ( A | B ) ≜ P ( A ∩ B ) P ( B ) {\displaystyle P(A|B)\triangleq {\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}} {\displaystyle P(A|B)\triangleq {\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}

رابطه بالا که تعریف چگونگی محاسبه احتمال شرطی است، توسط کولموگروف تعریف شده است. گرچه، نویسندگان دیگری مانند دفینیتی ترجیح میدهد که احتمال شرطی را به عنوان بدیهیات آماری تلقی کند. گرچه از نظر ریاضی معادلند ولی ممکن است از نظر فلسفی ترجیح داده میشود.[۲]:
اصل ضرب

برای احتمال اشتراک دو پیشامد A {\displaystyle A} A و B {\displaystyle B} B می‌توان نوشت:

    P ( A ∩ B ) = P ( A | B ) P ( B ) {\displaystyle P(A\cap B)=P(A|B)P(B)} {\displaystyle P(A\cap B)=P(A|B)P(B)}

در حالت کلی قاعده ضرب به صورت زیر بیان می شود:

    P ( E 1 E 2 E 3 . . . E n ) = P ( E 1 ) P ( E 2 | E 1 ) P ( E 3 | E 2 E 1 ) . . . P ( E n | E 1 . . . E n − 1 ) {\displaystyle P(E_{1}E_{2}E_{3}...E_{n})=P(E_{1})P(E_{2}|E_{1})P(E_{3}|E_{2}E_{1})...P(E_{n}|E_{1}...E_{n-1})} {\displaystyle P(E_{1}E_{2}E_{3}...E_{n})=P(E_{1})P(E_{2}|E_{1})P(E_{3}|E_{2}E_{1})...P(E_{n}|E_{1}...E_{n-1})}

اثبات: برای اثبات قاعده ضرب تعریف احتمال شرطی را در طرف راست رابطه می نویسیم

    P ( E 1 ) P ( E 1 E 2 ) P ( E 1 ) . . . P ( E 1 E 2 . . . E n ) P ( E 1 E 2 . . . E n − 1 ) = P ( E 1 E 2 . . . E n ) {\displaystyle P(E_{1}){\frac {P(E_{1}E_{2})}{P(E_{1})}}...{\frac {P(E_{1}E_{2}...E_{n})}{P(E_{1}E_{2}...E_{n-1})}}=P(E_{1}E_{2}...E_{n})} {\displaystyle P(E_{1}){\frac {P(E_{1}E_{2})}{P(E_{1})}}...{\frac {P(E_{1}E_{2}...E_{n})}{P(E_{1}E_{2}...E_{n-1})}}=P(E_{1}E_{2}...E_{n})}

مثال اول

در ظرفی 52 توپ از 4 رنگ مختلف (آبی،قرمز،سبز،سفید) که هر یک با شماره های 1 تا 13 مشخص شده اند وجود دارد.این توپ ها را به تصادف بین 4 نفر تقسیم می کنیم.احتمال این که هر یک از 4 نفر توپ شماره1 را دریافت نمایند چقدر است؟

جواب: ابتدا پیشامدهای زیر را تعریف می کنیم:

E 1 {\displaystyle E_{1}} {\displaystyle E_{1}} ={توپ شماره 1 آبی نزد یکی از افراد باشد}

E 2 {\displaystyle E_{2}} {\displaystyle E_{2}} ={توپ شماره 1 آبی و توپ شماره1 قرمز نزد دو نفر متفاوت باشند}

E 3 {\displaystyle E_{3}} {\displaystyle E_{3}} ={توپ شماره 1 آبی،توپ شماره 1 قرمز و توپ شماره1 سبز نزد افراد متفاوتی باشند}

E 4 {\displaystyle E_{4}} {\displaystyle E_{4}} ={همه توپهای با شماره یک نزد افراد متفاوت باشند}

احتمال مورد نظر برابر است با:

    P ( E 1 E 2 E 3 E 4 ) = P ( E 1 ) P ( E 2 | E 1 ) P ( E 3 | E 1 E 2 ) P ( E 4 | E 1 E 2 E 3 ) {\displaystyle P(E_{1}E_{2}E_{3}E_{4})=P(E_{1})P(E_{2}|E_{1})P(E_{3}|E_{1}E_{2})P(E_{4}|E_{1}E_{2}E_{3})} {\displaystyle P(E_{1}E_{2}E_{3}E_{4})=P(E_{1})P(E_{2}|E_{1})P(E_{3}|E_{1}E_{2})P(E_{4}|E_{1}E_{2}E_{3})}

E1 فضای نمونه آزمایش است و از طرفی فردی که توپ شماره 1 آبی را داشته باشد 12 توپ از 51 توپ دیگر را خواهد داشت بنابراین

    P ( E 1 ) = 1 {\displaystyle P(E_{1})=1} {\displaystyle P(E_{1})=1}
    P ( E 2 | E 1 ) = 39 51 {\displaystyle P(E_{2}|E_{1})={\frac {39}{51}}} {\displaystyle P(E_{2}|E_{1})={\frac {39}{51}}}

هم چنین افرادی که توپ شماره 1 آبی و توپ شماره 1 قرمز را داشته باشند 24 توپ دیگر از 50 توپ باقی مانده را خواهند داشت. بنابراین

    P ( E 3 | E 2 E 1 ) = 26 50 {\displaystyle P(E_{3}|E_{2}E_{1})={\frac {26}{50}}} {\displaystyle P(E_{3}|E_{2}E_{1})={\frac {26}{50}}}

و در پایان

    P ( E 4 | E 3 E 2 E 1 ) = 13 49 {\displaystyle P(E_{4}|E_{3}E_{2}E_{1})={\frac {13}{49}}} {\displaystyle P(E_{4}|E_{3}E_{2}E_{1})={\frac {13}{49}}}

بنابراین احتمال این که هر فرد دقیقاً یک توپ با شماره 1داشته باشد برابر است با [۳].

    P ( E 1 E 2 E 3 E 4 ) = ( 13 ) ( 26 ) ( 39 ) ( 51 ) ( 50 ) ( 49 ) {\displaystyle P(E_{1}E_{2}E_{3}E_{4})={\frac {(13)(26)(39)}{(51)(50)(49)}}} {\displaystyle P(E_{1}E_{2}E_{3}E_{4})={\frac {(13)(26)(39)}{(51)(50)(49)}}}

مثال دوم

تاسی را پرتاب می‌کنیم و مشاهده می‌کنیم که عدد رو آمده زوج است. احتمال رو آمدن 2 چقدر است؟

جواب: عدد رو آمده را متغیر X تعریف کنید. P ( X = 2 | X = E v e n ) = 1 / 6 ∗ 2 = 1 / 3 {\displaystyle P(X=2|X=Even)=1/6*2=1/3} {\displaystyle P(X=2|X=Even)=1/6*2=1/3} اگر هیچ اطلاعی از پرتاب در دسترس نبود، احتمال رو آمدن عدد 2 مانند هر عدد دیگری 6/1 بود ولی اکنون میدانیم که عدد رو آمده فرد نیست پس احتمال رو آمدن اعداد 1و3و5 برابر صفر است. احتمال رو آمدن سایر اعداد نیز باید در عددی ثابت ضرب شوند که مجموع احتمال یک شود. این عدد معکوس جمع احتمال رو آمدن 2و4و6 در حالت عادی(عدم اطلاع از پرتاب) یعنی 2=(1-)^(1/3+1/3+1/3) است پس احتمال رو آمدن عدد 2 به صورت بالا محاسبه میشود.

اگر بخواهیم مثال فوق را از طریق فرمول احتمال شرطی حل کنیم داریم:

P ( A ∩ B ) = 1 / 6 {\displaystyle P(A\cap B)=1/6} {\displaystyle P(A\cap B)=1/6} و P ( B ) = 1 / 2 {\displaystyle P(B)=1/2} {\displaystyle P(B)=1/2} که احتمال مورد نظر 3/1 است.
مثال سوم

وقتی دو تاس را پرتاب می کنیم 36 نتیجه ی حاصل از پرتاب آن ها دارای شانس برابر هستند، و احتمال وقوع برای هر یک برابر با 1/36 است. حال فرض کنید یکی ار تاس ها را پرتاب کرده و نتیجه برابر 3 شده است. حال می خواهیم احتمال این را محاسبه کنیم که مجموع دو تاس برابر با 8 باشد! در این حالت اگر نتیجه تاس اول برابر با 3 باشد، حداکثر 6 نتیجه ممکن برای این آزمایش وجود دارد: {(6و3) ، (5و3) ، (4و3) ، (3و3) ، (2و3) ، (1و3)} از طرفی چون احتمال وقوع هر یک از پیشامدهای بالا یکسان است پس این نتایج هم شانس هستند و می توان گفت احتمال هر یک برابر است با 1/6. از طرفی احتمال وقوع 30 نتیجه ی دیگر فضای نمونه برابر با صفر می باشد. حال همان گونه که می بینیم زمانی که تاس اول برابر با 3 باشد احتمال این که مجموع برابر با 8 باشد برابر است با 1/6 . اگر A و B به ترتیب نشان دهنده ی مجموع دو تاس 8 و نتیجه ی تاس اول برابر با 3 باشند، آنگاه احتمال محاسبه شده عبارت است از احتمال وقوع A به شرط B و با نماد زیر نوشته می شود: P ( A | B ) {\displaystyle P(A|B)} {\displaystyle P(A|B)}

یک رابطه ی دیگر هم برای محاسبه ی این احتمال شرطی می توان بدست آورد. می دانیم زمانی که B اتفاق بیفتدبدین معناست که فضای نمونه ی ما به مجموعه ی B کاهش یافته است. همچنین می دانیم برای این که A اتفاق بیفتدلازم است که نتیجه ی واقعی نقطهای از A و B باشد یعنی باید در A ∩ B {\displaystyle A\cap B} {\displaystyle A\cap B} باشد که می توان این توضیحات را به صورت زیر با نماد ریاضی مطرح نمود: اگر P(B)>0 باشد آنگاه

    P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}} {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}

قانون احتمال کل

گاهی محاسبه احتمال شرطی پیشامد A راحت تر از محاسبه مستقیم احتمال پیشامد A است. با استفاده از فرمول احتمال شرطی داریم:

P ( A ) = P ( A | B ) . P ( B ) + P ( A | B ′ ) . P ( B ′ ) {\displaystyle P(A)=P(A|B).P(B)+P(A|B').P(B')} {\displaystyle P(A)=P(A|B).P(B)+P(A|B').P(B')}[۴] یا در حالت کلی اگر ∪ i = 1 n B i = S {\displaystyle \cup _{i=1}^{n}B_{i}=S} {\displaystyle \cup _{i=1}^{n}B_{i}=S} که در آن S {\displaystyle S} S مجموعه مرجع است و ∩ i = 1 n B i = ∅ {\displaystyle \cap _{i=1}^{n}B_{i}=\emptyset } {\displaystyle \cap _{i=1}^{n}B_{i}=\emptyset } (مجموعه‌ها جدا از هم هستند و مجموعه مرجع را افراز می‌کنند.)

P [ A ] = ∑ i = 1 n P [ A | B i ] P [ B i ] {\displaystyle P[A]=\sum _{i=1}^{n}P[A|B_{i}]P[B_{i}]} {\displaystyle P[A]=\sum _{i=1}^{n}P[A|B_{i}]P[B_{i}]}
استقلال

P ( A | B ) {\displaystyle P(A|B)} {\displaystyle P(A|B)} و P ( A ) {\displaystyle P(A)} P(A) نسبت به هم سه وضعیت دارند:

    P ( A | B ) > P ( A ) {\displaystyle P(A|B)>P(A)} {\displaystyle P(A|B)>P(A)} در اینصورت گوییم دو واقعه همدیگر را تقویت میکنند.
    P ( A | B ) = P ( A ) {\displaystyle P(A|B)=P(A)} {\displaystyle P(A|B)=P(A)} در اینصورت گوییم دو واقعه از همدیگر مستقلند.
    P ( A | B ) < P ( A ) {\displaystyle P(A|B)